Apprendo dalla tv che pian pianino ripartiamo. La stagione estiva è alle porte, e tante persone hanno voglia di lavorare e ricominciare le loro attività; anche cinema e teatri iniziano a programmare eventi.
E anche le gare matematiche, lo spero tanto, riprenderanno, ma per il momento le finali nazionali delle Olimpiadi si sono svolte da remoto. Vediamo di unire in qualche modo le ultime due notizie che ho scritto, per esempio creando un problema matematico ambientato al cinema. Primo problema: siamo un gruppo di otto amici, e vogliamo andare al cinema. Abbiamo preso otto biglietti numerati, per otto posti vicini sulla stessa fila, e ci chiediamo in quanti modi diversi possiamo disporci negli otto posti. Chi ha studiato combinatoria sa la risposta; chi non la sa se la ricava, immaginando che il primo di noi entra e può scegliere il suo posto fra 8, il secondo che entra può scegliere il suo posto fra i 7 rimasti, il prossimo fra 6, fino a che l’ultimo potrà scegliere il suo posto fra l’unico rimasto libero. Il risultato si trova moltiplicando il numero delle varie scelte, quindi 8×7×6×5×4×3×2×1 = 40.320.
In pratica abbiamo moltiplicato tutti i numeri fino a 8 compreso, e questa operazione si indica 8! e si legge “otto fattoriale”. Secondo problema: stessa situazione di prima, ma due di noi, che indichiamo A e B, vogliono sedere vicini, e ci chiediamo nuovamente in quanti modi diversi possiamo disporci negli otto posti. Una soluzione secondo me furba si può trovare immaginando che ci siano sette amici e non otto, perché uno di essi è la coppia AB: visto che devono stare vicini, consideriamoli un’unica persona. In questa situazione vediamo che 7! = 5.040. Ma ci sarà ancora lo stesso risultato se sistemeremo i due amici BA, cioè se cambiamo chi di loro due occuperà la prima delle loro due poltrone. Quindi in tutto 5.040 × 2 = 10.080.
Terzo problema: analoga situazione di prima, ma A e B ora non vogliono stare vicini, e siamo curiosi anche questa volta sapere in quanti modi diversi possiamo disporci negli otto posti. In questo caso facciamo entrare per primi A e B, e potranno occupare i posti 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 1-7, 1-8, 2-4, 2-5, 2-6, 2-7, 2-8, 3-5, 3-6, 3-7, 3-8, 4-6, 4-7, 4-8, 5-7, 5-8, 6-8: 21 possibilità. Quando scegliamo una di queste opzioni, possiamo mettere A nella prima poltroncina e B nella seconda, oppure il contrario: due scelte. Quindi finora ci sono 21 × 2 = 42 scelte per far sedere A e B. Nei sei posti rimasti posso far sedere gli altri sei in 6! = 720 modi, per un totale di 720 × 42 = 30.240.
Ma non occorreva fare tutti questi calcoli: se i casi in tutto sono 40.320, e in 10.080 di questi casi A e B sono vicini, per trovare in quanti casi sono distanti, bastava fare la differenza: 40.320 – 10.080 = 30.240. Semplice, no?
Giorgio Dendi
