Chi va piano…

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Mi piace proporre nelle scuole che mi ospitano problemi risolvibili con ragionamenti inaspettati, e spesso riesco a stupire studenti e insegnanti con le mie trovate. Vediamo se riesco ad incuriosirvi con questo problema adatto a chi guida l’automobile. Ricordo di averlo sentito anche tempo fa in televisione proposto dal mio amico Furio Honsell, all’epoca rettore dell’Università di Udine e ospite fisso di Fabio Fazio. Ecco il testo del problema: un automobilista percorre metà tragitto a 300 km all’ora e l’altra metà a 100 km all’ora. Alla fine del viaggio, quale risulterà essere la sua velocità media?
Sappiamo tutti che la media fra 100 e 300 è 200, e quindi forse possiamo subito proporre questo risultato come soluzione del problema.
Ma esaminiamo con calma il nostro problema, ammettendo, per esempio, che il tragitto sia lungo 600 km (chi vuole provare con altre distanze, otterrà lo stesso risultato, ma con calcoli meno agevoli). I primi 300 km si percorrono a 300 all’ora, quindi in un’ora; i successivi 300 km si percorrono a 100 all’ora, quindi in 3 ore. Per percorre il tragitto complessivo, cioè 600 km, si impiegano allora 4 ore in tutto, e quindi la media risulta esser di 150 km all’ora.
Certo, se avessi percorso il mio tragitto per metà tempo a 300 e per metà tempo a 100, la media sarebbe risultata 200, ma siccome ho percorso metà tragitto a 300 e metà a 100, ecco che la media da calcolare non è quella aritmetica, ma quella armonica. Ci sono anche la media geometrica, la media quadratica, la media ponderata, e ognuna di esse va usata al momento opportuno. Però oggi forse siamo riusciti a trovare la risposta esatta col solo ragionamento. E quindi abbiamo anche capito come mai, nonostante la velocità tenuta durante un viaggio, con un piccolo rallentamento abbiamo tardato di tanto il nostro arrivo: colpa della media armonica!

Giorgio Dendi