Nelle gare matematiche alle quali partecipiamo io ed i ragazzi che alleno, cerchiamo sempre, se non siamo a conoscenza della formula, di scoprire una qualche ricorrenza, un meccanismo insomma, che ci aiuti a trovare il valore anche di un caso complicato. Facciamo un esempio.
Quante diagonali ci sono in una figura regolare di venti lati? A parte la curiosità che una tale figura si chiama icosagono, vediamo di trovare la soluzione, studiando dei casi più semplici, alla nostra portata. Il triangolo non ha diagonali; il quadrato ha due diagonali (basta disegnare la X dentro la figura); il pentagono ha cinque diagonali (che formano una stella a cinque punte, detta pentacolo); l’esagono infine ne ha nove. Basta: abbiamo lavorato abbastanza, e facciamo a questo punto dei ragionamenti. Guardiamo i valori trovati nelle figure da triangolo a esagono, e vediamo che le diagonali sono, nell’ordine: 0, 2, 5, 9; si può notare che gli aumenti sono 2, 3, 4. Infatti da 0 a 2 si sale di 2, da 2 a 5 si sale di 3, e da 5 a 9 si sale di 4. Forse per passare dall’esagono all’ettagono si aumenta di 5 (e si ottiene 14), e poi per l’ottagono si aumenta di 6 (e si arriva a 20), e così via. E’ proprio così: se non sappiamo la formula che permette di trovare il numero di diagonali, con questo sistema si trova anche il numero delle diagonali della figura con 20 lati (che sono 170).
Questo metodo funziona abbastanza spesso, ma non si deve mai abbassare la guardia, perché l’errore è sempre in agguato. Vediamo un altro testo.
Mettiamo in un recinto 24 gatti, e ad un certo punto gettiamo nel recinto 24 topolini. I gatti si mangiano i topolini in 24 minuti. Se ripetiamo l’esperimento con un numero di gatti e di topolini dimezzato, quanto tempo impiegano? E se dimezzo ulteriormente? E se dimezzo ulteriormente? E se dimezzo ulteriormente? Ovviamente, si immagina che le condizioni dei vari esperimenti siano identiche. Buon lavoro!
Soluzione.
Innanzi tutto, se 24 gatti mangiano 24 topolini, significa che ogni gatto mangia il suo topolino, e impiega 24 minuti per questo lavoro. E quindi anche se ci fossero 23 o 25 topolini, e ciascuno avesse la sua razione servita contemporaneamente agli altri, il tempo sarebbe sempre lo stesso: 24 minuti. E’ un po’ come quando vado al ristorante con i miei amici, e impieghiamo sempre un’ora di pausa pranzo, sia che siamo in 4, sia che siamo in 10. Quindi rispondiamo ai 4 quesiti. Prima risposta: 12 gatti mangeranno 12 topolini sempre in 24 minuti. Seconda risposta: 6 gatti mangeranno 6 topolini sempre in 24 minuti. Terza risposta: 3 gatti mangeranno 3 topolini sempre in 24 minuti. Quarta risposta: un gatto e mezzo deve mangiare un topolino e mezzo; ma un gatto e mezzo significa un gatto (vivo) e mezzo gatto (che non può essere vivo); il gatto vivo mangia un topolino in 24 minuti e poi mangerà il mezzo topolino in metà tempo, cioè 12 minuti, per un totale di 36. Le quattro risposte sono quindi 24, 24, 24 e, inaspettatamente, 36.
Giorgio Dendi
