In questo periodo, ogni anno dal 2001, si sono svolti sempre gli allenamenti con la nostra Nazionale di Giochi Matematici. È stata un’idea mia, quella di tenere alcuni allenamenti, perché tutti gli atleti si allenano, e quindi mi pare ovvio che anche gli atleti appassionati di matematica si allenino, alla vigilia delle competizioni internazionali, che si svolgono in agosto. Quest’anno la nostra vita è stata sconvolta dalla pandemia, e anche gli allenamenti si svolgeranno in maniera insolita: ci sarò sempre io sul Lago Maggiore, al nostro solito ritrovo, ma tutti gli altri seguiranno da casa le lezioni.
Vediamo un po’ cosa sono questi Giochi e cosa può esserci di così interessante a partecipare.
Leggerò un problema proposto nel 2013, e lo risolveremo assieme.
Jacob sceglie due gettoni, scelti fra i 7 che possiede, numerati da 1 a 7. Il suo obiettivo è che la somma dei due gettoni sia un numero pari. In quanti modi può sceglierli?
Cominciamo ad elencare le coppie possibili, e vediamo che una somma pari si può ottenere con 1-3, 1-5, 1-7, 2-4, 2-6, 3-5, 3-7, 4-6, 5-7: in tutto ci sono 9 modi di scegliere i gettoni, e il problema è risolto. Può sembrare un problema semplice, e infatti lo è: è proprio uno dei quesiti di esordio, destinato ai più giovani, ma adesso vediamo di commentarlo. Intanto si può risolvere anche senza elencare le coppie, ma con questo ragionamento: per ottenere un numero pari si possono sommare due numeri pari fra i tre a disposizione (e dalla combinatoria sappiamo che si può fare in tre modi), oppure si possono sommare due numeri dispari fra i quattro a disposizione (e dalla combinatoria sappiamo che si può fare in sei modi). Quindi in totale ci sono 9 casi.
Ma, e questo è interessante secondo me, si può ingrandire il problema, e non accontentarsi solo di giocare con i 7 gettoni disponibili: se i gettoni fossero ad esempio 777, quante combinazioni ci sarebbero? Ovviamente, non faremo l’elenco, ma ragioniamo un po’, sempre prendendo un numero dispari di gettoni: con i tre gettoni da 1 a 3 c’è una coppia; con i cinque gettoni da 1 a 5 ci sono 4 coppie; con i sette gettoni da 1 a 7 ci sono 9 coppie, come già visto; con i nove gettoni da 1 a 9 possiamo verificare che ci sono 16 coppie; con gli undici gettoni da 1 a 11 possiamo fare 25 coppie… Cos’hanno di particolare le soluzioni dei vari problemi? Sempre ci sono dei quadrati perfetti, e precisamente il quadrato di metà del numero di gettoni, troncato. Ad esempio, con 11 gettoni, facciamo la metà di 11 e troviamo 5,5; tronchiamo e troviamo 5; eleviamo al quadrato e troviamo 25, che è la risposta esatta (1-3, 1-5, 1-7, 1-9, 1-11, 2-4, 2-6, 2-8, 2-10, 3-5, 3-7, 3-9, 3-11, 4-6, 4-8, 4-10, 5-7, 5-9, 5-11, 6-8, 6-10, 7-9, 7-11, 8-10, 9-11). Allora con 777 gettoni facciamo la metà, e troviamo 388,5; tronchiamo e troviamo 388; eleviamo al quadrato e troviamo 150.544.
Il risultato è un numero altissimo, e sicuramente non potevamo elencare tutte le combinazioni, ma lavorando su numeri piccoli abbiamo trovato la regola, e così funzionano i nostri giochi: con l’idea giusta si riesce anche a gestire numeri così grandi, e forse anche maggiori. Chi poi ha gli strumenti e le conoscenze, può anche dimostrare che questo è il ragionamento corretto, ma per oggi per noi potrebbe bastare.
Giorgio Dendi
