I lingotti di Paperone

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Tante volte mi viene chiesto quali problemi incontriamo alle nostre gare matematiche, e in questi giorni sono stato a Parigi, per le finali internazionali di Giochi Matematici, dove la squadra italiana si è comportata bene, ma non ho avuto ancora il tempo di studiare la classifica e capire come siano andati i singoli concorrenti.
Ma vediamo un problema che è stato proposto. Diciamo un problema che si può presentare agli amici, cioè che non richieda tante conoscenze, e che quindi dovrebbe ancora divertirci senza farci diventare matti.
Paperone possiede dei lingotti che pesano ciascuno un numero intero di chili, e due lingotti distinti possono avere anche lo stesso peso. Il peso totale dei lingotti è di 60 Kg, e si possono ripartire in 4 oppure 5 oppure ancora 6 pile di peso uguale (rispettivamente di 15, 12, 10 Kg).
Quanti lingotti possiede come minimo Paperone?
Chi ha piacere, può interrompere la lettura, e provare a risolvere per conto suo, altrimenti passiamo a trovare insieme la risposta.
Io in un primo momento avevo pensato alla combinazione con quattro lingotti di 7, quattro di 5 e quattro di 3 chili, quindi dodici lingotti in tutto. In questo modo si possono combinare sei gruppi di 10 (7+3, 7+3, 7+3, 7+3, 5+5, 5+5), cinque gruppi di 12 (7+5, 7+5, 7+5, 7+5, 3+3+3+3) oppure quattro gruppi di 15 (7+5+3, 7+5+3, 7+5+3, 7+5+3).
Non contento, ho cercato avanti e ho trovato pure la combinazione con tre lingotti di 10, quattro di 5 e cinque di 2 chili, quindi nuovamente 12 lingotti in tutto. In questo modo si possono combinare 6 gruppi di 10 (10, 10, 10, 5+5, 5+5, 2+2+2+2+2), cinque gruppi di 12 (10+2, 10+2, 10+2, 5+5+2, 5+5+2) oppure quattro gruppi di 15 (10+5, 10+5, 10+5, 5+2+2+2+2+2).
Anche altri concorrenti hanno dato la risposta 12, ma l’esperienza mi ha suggerito che se ci sono due combinazioni che danno lo stesso valore finale, probabilmente ce n’è una ancora migliore.
Ed ecco che dopo una breve ricerca ho trovato una combinazione con undici lingotti dal peso di 10, 9, 8, 7, 6, 5, 5, 4, 3, 2, 1 chili. In questo modo si possono combinare 6 gruppi di 10 (10, 9+1, 8+2, 7+3, 6+4, 5+5), cinque gruppi di 12 (10+2, 9+3, 8+4, 7+5, 6+5+1) oppure quattro gruppi di 15 (10+5, 9+6, 8+7, 5+4+3+2+1).
Naturalmente, con problemi di questo tipo non si è mai sicuri di aver trovato la soluzione migliore, ma io a questo punto mi sono fermato, e ho consegnato la risposta 11.
E mi è andata bene…

Giorgio Dendi