La matematica ci fornisce molte regole “ufficiali” di come funzionano le cose, e poi è bello anche scoprire quando si possono trovare dei casi speciali nei quali queste regole vengono trasgredite.
Ad esempio al liceo mi è stato insegnato che per scoprire due valori mi occorrono due equazioni. In altri termini, se volessi sapere il numero civico dell’abitazione di due persone a caso, devo sapere, ad esempio, che la somma dei due numeri vale 34 e che il prodotto vale 240. Chi sa impostare le equazioni, con la formula adatta o per tentativi scopre che i due valori sono 10 e 24; possiamo verificare che effettivamente la somma dei due numeri è 34 e il prodotto 240. Una sola delle due informazioni non mi sarebbe bastata, mentre con entrambe ho trovare la soluzione.
Abbiamo appena concluso che per trovare due numeri ci vogliono due informazioni, ma siccome parlavamo di numeri civici, quindi numeri positivi e interi, potrebbero capitarci dei casi nei quali anche con una sola informazione, si possono trovare i due valori. Volete pensarci prima di proseguire la lettura?
Ammettiamo che mi dicano che la somma dei due numeri è 2: sicuramente i numeri civici saranno 1 e 1.
Se invece mi dicessero che il prodotto vale un numero primo, ad esempio 23, potrei dire con certezza che i due numeri valgono 1 e 23.
Ci sono altri casi? Sì, e infiniti. Anche ad esempio sapere che la somma dei quadrati dei due numeri vale 41, mi fornisce la soluzione. I due numeri sono, infatti, 4 e 5, i loro quadrati sono 16 e 25, e la somma dei quadrati vale 41. Però attenzione: se avessi detto che la somma dei quadrati vale 125, non si può rispondere, perché ci sono due coppie (5, 10 e 2, 11) che soddisfano alla richiesta. Infatti sia i quadrati di 5 e 10, cioè 25 e 100, sia i quadrati di 2 e 11, cioè 4 e 121, danno come somma 125.
Insomma, bisogna andare sempre con i piedi di piombo, e appena chiarito un dubbio, io cerco di farne venire di nuovi…
Comunque, in tutti i casi si possono identificare due numeri sapendo un solo valore, con il sistema delle “cifre alternate”: è un termine che ho inventato io, e indica che i numeri vengono scritti a cifre alternate nel risultato che viene palesato; di un numero le cifre vengono sistemate nei posti pari, e dell’altro nei posti dispari. In questo caso per i numeri civici 743 e 51 verrebbe detto che il totale alternato fa 704531, e il solutore, trovando nei posti dispari 7, 4, 3 e nei posti pari 0, 5, 1, saprebbe risalire ai due numeri.
Anche se siamo partiti da un giochino, abbiamo fatto una grande scoperta: con l’informazione di un solo numero, in realtà ne possiamo comunicare due: qualcosa del genere avviene in una grande pagina della Matematica, dove il matematico tedesco Georg Cantor ci dice che un quadrato è composto dallo stesso numero di punti di un suo lato. Questi prodigi avvengono solo quando lavoriamo con un infinito numero di elementi, e i numeri sono infiniti.
Giorgio Dendi
