Immagino di aver sul tavolo quattro carte, e di voler fare alcuni mucchietti: potrò fare un mucchio di quattro carte, oppure un mucchio di tre e uno di una carta, oppure due mucchi di due carte ciascuno, oppure un mucchio di due carte e due mucchietti di una carta ciascuno, oppure quattro mucchi di una carta ciascuno. In pratica potrò scegliere in cinque modi come spartire le carte sul tavolo. Notiamo che un mucchio di tre carte e uno di una equivale a un mucchio di una carta e uno di tre.
Passiamo a qualcosa di appena un po’ più complicato: immaginiamo di avere cinque carte e di voler fare la stessa operazione; come possiamo dividere le carte? I risultati possibili sono 5, 4-1, 3-2, 3-1-1, 2-2-1, 2-1-1-1, 1-1-1-1-1: sette possibili suddivisioni delle cinque carte.
Vedo che fin qui tutto risulta semplice, e allora mi vien voglia di alzare il tiro: le carte da gioco sono ora otto, e i mucchietti possibili sono: 8, 7-1, 6-2, 6-1-1, 5-3, 5-2-1, 5-1-1-1, 4-4, 4-3-1, 4-2-2, 4-2-1-1, 4-1-1-1-1, 3-3-2, 3-3-1-1, 3-2-2-1, 3-2-1-1-1, 3-1-1-1-1-1, 2-2-2-2, 2-2-2-1-1, 2-2-1-1-1-1, 2-1-1-1-1-1-1, 1-1-1-1-1-1-1-1, e le possibili suddivisioni delle carte ora sono 22.
Sembra tutto gestibile, e con un po’ di pazienza forse riusciamo a trovare quante partizioni ci permette anche un numero alto di carte, però purtroppo non è così: ad esempio con 100 carte le permutazioni possibili sono 190.569.292, con 1000 carte le permutazioni sono un numero di 32 cifre, con 10.000 carte diventano un numero di 107 cifre.
Ecco che il problema è diventato molto, ma molto, tosto, anche se eravamo partiti con il dover contare alcune situazioni, e tutti siamo capaci di contare, fino dalle elementari.
Questo problema si chiama “partizione di un insieme” ed è stato studiato da Srinivasa Ramanujan circa cento anni fa. Il matematico indiano era riuscito a trovare e migliorare in più riprese una formula che, dato il numero di carte, trovava il numero di partizioni con un errore inferiore allo 0,5%; tenendo conto che fino a quel momento si calcolava a mano il risultato, dovendo scrivere quasi tutte le combinazioni, ci rendiamo conto che era stato fatto un gran passo per la Matematica. Se poi noi vogliamo toccare con mano e vedere effettivamente la difficoltà di questo problema, possiamo calcolare il numero delle partizioni con un numero di carte maggiore di 8: buon lavoro!
Giorgio Dendi
