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La tastiera rotta

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191 La tastiera rotta

Spesso durante gli incontri con gli studenti della scuola primaria o media propongo questo problema che ora vi presento.
Vorrei scrivere tutti i numeri interi da 1 a 100 (che sono 100, ovviamente), ma mi sono accorto che i tasti con il numero 4 e il numero 7 non funzionano. Quanti numeri riuscirò a scrivere in tutto?
Se qualcuno ha piacere di risolvere per conto proprio, lo invito a interrompere la lettura, e poi confrontare il proprio risultato con il mio.
Consiglio agli studenti a catturare sul proprio quaderno a quadretti una zona di cento caselle, e precisamente un quadrato di 10 caselle di lato, e di scrivere tutti i numeri in successione: nella prima riga da 1 a 10, nella seconda da 11 a 20, e così via. A questo punto con un evidenziatore segniamo i numeri impossibili da scrivere, cioè quelli che contengono le cifre 4 e 7. Chi ha lavorato come consigliato, avrà una bella sorpresa: ora risultano evidenziate due colonne e due righe: la colonna dei numeri che terminano con 4 (4, 14, 24… 94) e siamo arrivati a 10 numeri; la colonna dei numeri che terminano con 7 (7, 17, 27… 97) e con questi 10 siamo arrivati a 20 numeri; la riga dei numeri che iniziano con 4 (40, 41, 42… 49) e con questi 8 siamo arrivati a 28 numeri; la riga dei numeri che iniziano con 7 (70, 71, 72… 79) e con questi 8 siamo arrivati a 36 numeri. Quindi eliminando 36 dai 100 numeri iniziali, ne restano 64, che è la risposta esatta.
Un paio di commenti: i numeri delle linee orizzontali sono 8 ogni volta, perché in ogni riga ce ne sono due che erano già stati tolti: nella decina di 40 mancano già da prima 44 e 47; poi ho detto che eliminiamo una “riga” anche se i numeri non stanno proprio in una riga, ma il 40 nella riga superiore e tutti gli altri in quella successiva, ma ai fini del conteggio è come se fossero tutti in una riga sola.
E cosa succede se mi si guasta anche un’altra cifra, ad esempio il 3? Forse a questa domanda si può rispondere anche soltanto con un’arguzia, senza far troppi calcoli. Intanto osserviamo che in situazioni normali, con tutti i dieci numeri, si possono scrivere 100 numeri, da 1 a 100. Con due tasti rotti, cioè con otto tasti funzionanti, si possono scrivere 64 numeri, quindi… Se ci accorgiamo che 100 e 64 sono i quadrati di 10 e di 8, allora forse possiamo immaginare che con 7 tasti funzionanti si possono scrivere 49 numeri, poiché 49 è il quadrato di 7, e questa è la risposta esatta.
Quindi se poi si guasta anche il 9, potremo scrivere 36 numeri, e così via. Se a un certo punto ci rimangono i soli tasti 0 e 1, potremo scrivere 4 numeri, cioè 2 al quadrato. E questi numeri sono 1, 10, 11, 100, e coincidono con i primi quattro numeri del sistema binario. Ecco, i numeri binari sono una grande pagina della matematica, sui numeri binari si basa tutta la matematica dei calcolatori, che non conoscono le nostre cifre decimali, e le caratteristiche dei numeri binari vengono fuori da un giochino che parla di calcolatrici e tasti… le sorprese della matematica non sono mai finite!

Giorgio Dendi

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