Una contadina porta al mercato le uova delle sue galline. Ad un primo cliente vende metà delle uova che ha, più mezzo uovo; ad un secondo cliente vende metà delle uova rimaste, più mezzo uovo; ad un terzo cliente vende metà delle uova rimaste, più mezzo uovo; prosegue così fino al decimo cliente, al quale vende metà delle uova rimaste, più mezzo uovo. A questo punto, rimasta senza uova, se ne torna a casa. Quante uova aveva all’inizio?
Questo appena presentato è un problema che propongo spesso nelle scuole, ai miei ragazzi, e li metto in difficoltà poiché non è semplice ricostruire tutti i passaggi. Innanzitutto, sembra strano che si riesca a compiere quanto richiesto senza rompere alcun uovo, poiché si presume che le uova siano fresche.
Quando mi trovo davanti ad un problema complicato, io di solito cerco di manipolare il testo, in modo da dover risolvere qualcosa di più semplice. Proviamo allora a pensare ad un solo cliente: la contadina gli vende metà delle uova che possiede, più mezzo uovo, e rimane senza uova. Con un po’ di tentativi oppure con le equazioni, possiamo immaginare che forse la contadina aveva un uovo, così vende metà delle uova (cioè mezzo uovo) più mezzo uovo, e rimane senza uova.
E se i clienti fossero due? Anche qua, con un paio di tentativi, si scopre che le uova devono essere 3, così al primo cliente viene data metà delle uova (cioè un uovo e mezzo) più mezzo uovo (quindi due uova in tutto), e rimane un uovo per accontentare il secondo cliente.
E se i clienti fossero tre? In questo caso le uova devono essere 7, poiché così al primo cliente viene data metà delle uova (cioè tre uova e mezzo) più mezzo uovo (quindi quattro uova in tutto), e rimangono 3 uova per accontentare gli altri due clienti.
Subito ci possiamo accorgere che le uova devono sempre essere in numero dispari, per non dover rompere le uova per poter effettuare le vendite, e quindi per 4 clienti servono 15 uova, per 5 clienti 31 uova, per 6 clienti 63 uova, per 7 clienti 127 uova, per 8 clienti 255 uova, per 9 clienti 511 uova e finalmente per 10 clienti occorrono 1023 uova: ad ogni passaggio si raddoppia il numero di uova e si aggiunge 1.
Un’occhiata ai numeri citati, e ci possiamo accorgere che tutti i numeri di uova sono, ad ogni fase del nostro ragionamento, potenze di 2 diminuite di 1.
Anche in questo problema abbiamo visto che facendo pian piano i passaggi così come si possono svolgere nella realtà, ci porta alla fine alla soluzione esatta, e soprattutto che, se ragioniamo correttamente, nessun uovo deve venir sacrificato per trovare la soluzione.
Giorgio Dendi
