Qualche giorno fa mi è capitato di rivedere una puntata di NUMB3RS, una serie televisiva all’interno della quale, all’inizio di ogni singola puntata, viene ribadito che ogni giorno usiamo per mille scopi la matematica, e possiamo farlo anche per prevedere i comportamenti umani e per analizzare i crimini.
Nella puntata alla quale ho assistito, il giovane matematico protagonista della serie presenta il problema, o forse paradosso, di Monty Hall, che ora vado a presentare. In un programma a quiz il concorrente è arrivato alla fine, e ha diritto ad un premio; il presentatore gli mostra tre porte, spiegandogli che dietro una di queste porte ci sarà come premio un’automobile, mentre dietro le altre due porte una capra. Il concorrente ha diritto di scegliere una porta, dopo di che il presentatore, che sa dove si trova l’automobile, gli apre una delle due porte rimaste, facendogli vedere una capra. A questo punto il concorrente, il cui obiettivo è vincere l’automobile, può rimanere sulla sua decisione iniziale, oppure cambiare e scegliere la terza porta. Cosa gli conviene fare?
In genere, la risposta più gettonata è che all’inizio la probabilità di aggiudicarsi l’automobile è 1/3, cioè il 33%, mentre dopo l’apertura di una porta è di 1/2, cioè il 50%, ma non è così: se il concorrente cambia la sua scelta, ha la probabilità del 66% di vincere l’automobile. Per convincersi di questo, basta fare 10 scommesse mantenendo la scelta iniziale e altre 10 cambiando scelta dopo che la porta è stata aperta: l’ha fatto anche Nadia Toffa in una puntata delle Iene.
Mi rendo conto che non è facile capire il perché di questo esito del problema, e allora ho pensato ad una variante. Prendiamo un mazzo di carte francesi, cioè di 52 carte, e poi un jolly, per un totale di 53 carte. Le sistemiamo coperte sul tavolo e invitiamo un nostro amico a trovare il jolly, che fa vincere il gioco, e del quale noi sappiamo la posizione. Il nostro amico viene invitato quindi a mettere la sua mano su una carta, e la probabilità di vincita è ovviamente 1/53, circa il 2%. A questo punto noi giriamo 51 carte non vincenti, e le facciamo vedere al nostro amico. Gli conviene mantenere la sua scelta, oppure preferire l’ultima carta rimasta non girata? Qui dovrebbe essere più semplice comprendere che difficilmente la carta scelta nella prima fase era proprio quella vincente: probabilmente il jolly era una delle altre 52. E allora, se il jolly è una delle altre 52, ma nessuna delle 51 girate, dove sarà? Ovviamente la carta vincente dovrebbe essere l’ultima rimasta non girata e non scelta prima. Quindi probabilmente conviene cambiare la scelta iniziale! Ma attenzione: bisogna sempre tener conto che chi conduce il gioco sa cosa si cela dietro ogni porta (o dietro ogni carta, nella seconda versione), altrimenti i ragionamenti non sono più validi.
Giorgio Dendi
