Più o meno: cosa cambia?

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numeri

Lo dico sempre: la matematica è davvero curiosa, e anche giocherellando con una calcolatrice possiamo avvicinarci a pagine veramente importanti della Matematica (e questa volta ho scritto l’ultimo termine con la M maiuscola).
Prendiamo un qualunque numero intero e positivo, per esempio 534 (sono le cifre sulla targa della mia automobile). Continuo a trovare altri numeri con questa regola: se il numero è pari, lo divido per 2, altrimenti lo moltiplico per 3 e aggiungo 1. Quindi dal mio 534 ottengo via via 267, 802, 401, 1204, 602, 301, 904,… Mi accorgo che salgo e scendo di continuo, però alla fine (alla mossa 21) otterrò 1, e a quel punto il gioco finisce. Vi pare interessante, questo gioco? Forse no, ma la Matematica lo considera interessante, basti pensare che, oltre che come “congettura di Collatz” è conosciuto con una decina di nomi diversi, e da questo possiamo intuire che siano stati tanti i matematici ad affrontare questo problema. Forse il giochino appena presentato può sembrare banale, ma veniamo alla domanda cruciale: se io fossi partito da un altro valore, diverso da 534, sarei arrivato comunque, prima o poi, a 1, oppure sarei entrato in un loop? Il grande matematico Paul Erdos ha commentato che non siamo ancora pronti per problemi di questo tipo. E infatti ancora oggi nessuno è riuscito a dimostrare che si arriva sempre ad 1. Se qualcuno vuole provare partendo da 1.412.987.847, avviso che ci vorranno esattamente mille mosse per arrivare a 1: dopo una quarantina di mosse si scende sotto il miliardo, ma poi si sale ancora, e appena dalla mossa 730 si rimane definitivamente sotto il miliardo, poi alla 740-esima già si scende sotto il milione (con 670.802), alla mossa 946 si passa sotto il mille (con 901) e proprio alla millesima mossa si arriva a 1.
Sembra ovvio che si debba arrivare a 1? Dicevamo che non è assolutamente facile dimostrarlo (non ce l’ha fatta ancora nessuno), ma si può notare con molta facilità che la domanda non è banale; infatti se invece di moltiplicare per 3 e sommare 1 per i numeri dispari, provassimo a moltiplicare per 3 e sottrarre 1, se partissimo da 5, avremo nell’ordine 14, 7, 20, 10, 5, e a questo punto ci sarebbe la conferma che non si arriva mai a 1, ma si continua a girare all’infinito fra questi cinque valori. Se proviamo a partire dal nostro 1.412.987.847, già alla 161-esima cifra saremo a 14, e da quel momento il ciclo sarebbe ripetitivo: 14, 7, 20, 10, 5, 14, e non si arriverebbe mai a 1. Partendo da valori più “umani”, da 16 si arriva a 1 (16, 8, 4, 2, 1), da 17 si arriva ad un ciclo che si ripete dopo 18 mosse (17, 50, 25, 74, 37, 110, 55, 164, 82, 41, 122, 61, 182, 91, 272, 136, 68, 34, 17), da 18 si arriva alla fine ad un ciclo che si ripete ogni 5 mosse (18, 9, 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5 e poi di nuovo dal 14).
Insomma, se la regola per i numeri dispari è fare il triplo meno 1, siamo in grado tutti di dimostrare che non si arriva sempre a 1, mentre se la regola per i numeri dispari è fare il triplo più 1, allora la sensazione è che si arriva sempre a 1, ma nessuno è ancora riuscito a dimostrarlo… è proprio curiosa la matematica e abbiamo visto che mettere un più o un meno in una formula stravolge alla grande il meccanismo.

Giorgio Dendi

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